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http://hdl.handle.net/11612/4367| Autor(a): | Silva, Davi Santana de Oliveira |
| Orientador: | Lobo, Matheus Pereira |
| Título: | Teorema da existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias no contexto de espaços métricos |
| Palavras-chave: | Espaços Métricos; Aproximações Sucessivas; Existência e Unicidade. |
| Data do documento: | 2021 |
| Editor: | Universidade Federal do Tocantins |
| Programa: | Programa de Mestrado Profissional em Matemática - ProfMat |
| Citação: | SILVA, Davi Santana de Oliveira. Teorema da existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias no contexto de espaços métricos. 2021. 73f. Dissertação – Universidade Federal do Tocantins, Mestrado profissional em Matemática, Araguaína, 2021. |
| Resumo: | O presente trabalho busca apresentar o Teorema da Existência e Unicidade de soluções para uma problema de valor inicial (PVI) dentro do contexto de espaços métricos. Para isso, começamos revendo alguns conteúdos de análise real que auxiliam no entendimento dos conceitos de espaços métricos. Iniciamos com um pouco de topologia em espaços métricos, entre eles, a sequência de Cauchy, que é de extrema importância para a compreensão da definição de espaços métricos completos. Apresentamos o método de aproximações sucessivas devido a Émille Picard, que a partir de um caminho contínuo, nos permite aproximar a solução de um PVI e, além disso, verificar se esta solução encontrada é única a partir da convergência das iteradas. Em seguida, apresentamos o Teorema de Contração Uniforme, também conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Banach, que formaliza as aproximações sucessivas. Por fim, discutimos sobre o Teorema da Existência e Unicidade, sua demonstração, bem como aplicações para algumas equações diferenciais ordinárias. |
| Abstract: | The present work seeks to present the Existence and Uniqueness Theorem of solutions for an initial value problem (IPV) within the context of metric spaces. For this, we start by reviewing some real analysis contents that help in understanding the concepts of metric spaces. We present a bit of topology in metric spaces, among them, the Cauchy sequence, which is extremely important for understanding the definition of complete metric spaces. We discuss the method of successive approximations due to Émille Picard, which, from a continuous path, allows us to approximate the solution to a PVI and, furthermore, to verify whether this solution found is unique from convergence of the iterated ones. Then, we present the Uniform Contraction Theorem, also known as Banach’s Fixed Point Theorem, which formalizes the successive approximations. Finally, we discuss the Existence and Uniqueness Theorem, its proof, as well as applications to some ordinary di |
| URI: | http://hdl.handle.net/11612/4367 |
| Aparece nas coleções: | Mestrado Profissional em Matemática |
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